21 đề thi toán vào lớp 10

2. Mang đến hệ phương trình: (left{ eginarrayl3x - y = 2m - 1\x + 2y = 3m + 2endarray ight.)

a) Giải hệ phương trình lúc (m = 1) b) search m để hệ bao gồm nghiệm (left( x;y ight)) thỏa mãn: (x^2 + y^2 = 10)

Câu 2. (1,5 điểm).

Bạn đang xem: 21 đề thi toán vào lớp 10

cho phương trình (A = left( dfrac1x - sqrt x + dfrac1sqrt x - 1 ight):dfracsqrt x + 1left( sqrt x - 1 ight)^2) (với (x > 0,x e 1) )

a) Rút gọn gàng biểu thức A.

b) Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức (P = A - 9sqrt x )

Câu 3. (1,0 điểm). Một chiếc bè trôi tự bến sông A đến bên B với gia tốc dòng nước là 4km/h, cùng lúc đó một loại thuyền chạy trường đoản cú bến A mang đến B rồi quay trở lại ngay thì gặp chiếc bè tại địa điểm C giải pháp bến A là 8km. Tính vận tốc thực của thuyền biết khoảng cách giữa nhị bến A với B là 24 km.

Câu 4. (1.5 điểm). vào hệ tọa độ Oxy, cho Parabol (y = x^2left( p. ight)) và mặt đường thẳng tất cả phương trình (y = left( m - 1 ight)x + m^2 - 2m + 3left( d ight))

a) chứng minh với phần đông giá trị của m thì (d) luôn luôn cắt (P) tại nhì điểm phân biệt.

b) đưa sử (d) cắt (P) tại nhì điểm rành mạch A, B. Tìm m để tam giác OAB cân nặng tại O. Lúc đó tính diện tích tam giác OAB.

Câu 5. (3.0 điểm) đến nửa con đường tròn trung ương O 2 lần bán kính AB, M là một trong những điểm bất kỳ thuộc nửa mặt đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp con đường Ax với By của nửa con đường tròn kia lần lượt trên C và D.

a) triệu chứng minh: (widehat COD = 90^0)

b) hotline K là giao điểm của BM với Ax. Hội chứng minh: (Delta KMO sim Delta AMD)

c) Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM cùng BDM.

Câu 6. (1,0 điểm)

a) mang lại hàm số (y = fleft( x ight)) cùng với (fleft( x ight)) là một trong biểu thức đại số khẳng định với số đông số thực (x e 0) . Biết rằng: (fleft( x ight) + 3fleft( dfrac1x ight) = x^2left( forall x e 0 ight).) Tính (fleft( 2 ight))

b) Cho tía số nguyên dương (a,b,c) đôi một khác biệt và thỏa mãn: (a) là mong của (b + c + bc), (b) là ước của (c + a + ca) và (c) là mong của (a + b + ab) . Chứng minh (a,b,c) không đôi khi là các số nguyên tố.

Lời giải bỏ ra tiết


Câu 1.

1. Giải những phương trình sau:

a)(5left( x + 1 ight) = 3x + 7)

(eginarrayl Leftrightarrow 5x - 3x = 7 - 5\ Leftrightarrow 2x = 2\ Leftrightarrow x = 1endarray)

b) (x^4 - x^2 - 12 = 0) (1)

Đặt (x^2 = t,,left( t ge 0 ight)) lúc ấy phương trình (1) trở thành:

(eginarraylt^2 - t - 12 = 0\ Leftrightarrow t^2 + 3t - 4t - 12 = 0\ Leftrightarrow left( t + 3 ight)left( t - 4 ight) = 0\ Leftrightarrow left< eginarraylt = - 3left( ktm ight)\t = 4left( tm ight)endarray ight.endarray)

Với (t = 4 Leftrightarrow x^2 = 4 Leftrightarrow x = pm 2)

Vậy phương trình (1) tất cả tập nghiệm là: (S = left - 2;2 ight\)

2) mang đến hệ phương trình: (left{ eginarrayl3x - y = 2m - 1\x + 2y = 3m + 2endarray ight.)

a) Giải hệ phương trình khi (m = 1)

Thay m = 1 vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới:

(left{ eginarrayl3x - y = 2.1 - 1\x + 2y = 3.1 + 2endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl3x - y = 1\x + 2y = 5endarray ight.)

(Leftrightarrow left{ eginarrayl6x - 2y = 2\x + 2y = 5endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylx = 1\y = 3x - 1endarray ight.)

(Leftrightarrow left{ eginarraylx = 1\y = 2endarray ight.)

Vậy hệ phương trình vẫn cho bao gồm nghiệm là: (left( x;y ight) = left( 1;2 ight))

b) kiếm tìm m nhằm hệ gồm nghiệm (left( x;y ight)) thỏa mãn: (x^2 + y^2 = 10)

Ta có: (dfrac31 e dfrac - 12) cần hệ phương trình vẫn cho luôn luôn có nghiệm (left( x;y ight)).

(left{ eginarrayl3x - y = 2m - 1\x + 2y = 3m + 2endarray ight.)


(Leftrightarrow left{ eginarrayly = 3x - 2m + 1\x + 2left( 3x - 2m + 1 ight) = 3m + 2endarray ight. )

(Leftrightarrow left{ eginarrayly = 3x - 2m + 1\x + 6x - 4m + 2 - 3m - 2 = 0endarray ight. )

(Leftrightarrow left{ eginarrayly = 3x - 2m + 1\x = mendarray ight. )

(Leftrightarrow left{ eginarrayly = m + 1\x = mendarray ight.)

Theo đề bài ta tất cả nghiệm (left( x;y ight)) thỏa mãn:

(eginarraylx^2 + y^2 = 10\ Leftrightarrow m^2 + left( m + 1 ight)^2 = 10\ Leftrightarrow 2m^2 + 2m - 9 = 0,,,,left( * ight)endarray)

(Delta " = 1 + 18 = 19 > 0)

Khi kia (*) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt: (left< eginarraylm = dfrac - 1 - sqrt 19 2\m = dfrac - 1 + sqrt 19 2endarray ight.)

Câu 2.

a) Rút gọn biểu thức A.

(A = left( dfrac1x - sqrt x + dfrac1sqrt x - 1 ight):dfracsqrt x + 1left( sqrt x - 1 ight)^2) (với (x > 0,x e 1))


(eginarraylA = left( dfrac1sqrt x left( sqrt x - 1 ight) + dfracsqrt x sqrt x left( sqrt x - 1 ight) ight):dfracsqrt x + 1left( sqrt x - 1 ight)^2\ = dfrac1 + sqrt x sqrt x left( sqrt x - 1 ight).dfracleft( sqrt x - 1 ight)^2sqrt x + 1\ = dfracsqrt x - 1sqrt x endarray)

b) Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức (P = A - 9sqrt x )

(eginarraylP = A - 9sqrt x \ = dfracsqrt x - 1sqrt x - 9sqrt x \ = 1 - left( dfrac1sqrt x + 9sqrt x ight)endarray)

Với (x > 0,x e 1), vận dụng bất đẳng thức Cosi mang lại hai số dương (dfrac1sqrt x ;9sqrt x ) ta có: (dfrac1sqrt x + 9sqrt x ge 2sqrt dfrac1sqrt x .9sqrt x = 6)

Từ đó ta có: (1 - left( dfrac1sqrt x + 9sqrt x ight) le 1 - 6 = - 5)

Vậy giá bán trị lớn nhất của biểu thức p. Là -5. Lốt “= xảy ra khi và chỉ còn khi (dfrac1sqrt x = 9sqrt x Leftrightarrow x = dfrac19)


Câu 3.

Một mẫu bè trôi tự bến sông A đến bên B với vận tốc dòng nước là 4km/h, đồng thời đó một cái thuyền chạy tự bến A đến B rồi trở lại ngay thì gặp gỡ chiếc bè tại vị trí C biện pháp bến A là 8km. Tính gia tốc thực của thuyền biết khoảng cách giữa nhì bến A với B là 24 km.

Gọi tốc độ thực của thuyền là: () (left( x > 4 ight))

Vận tốc xuôi loại của thuyền là: (x + 4left( km/h ight))

Vận tốc ngược chiếc của thuyền là: (x - 4left( km/h ight))

Vì thuyền chạy tự A mang lại B rồi quay trở về ngay thì gặp chiếc bè trên vị trị C giải pháp bến A là 8km có nghĩa là thuyền đi xuôi mẫu được 24 km với ngược loại được 24 – 8 = 16 km, yêu cầu ta có thời gian của thuyền đi mang đến khi gặp chiếc bè là: (dfrac24x + 4 + dfrac16x - 4left( h ight))

Thời gian của mẫu bè trôi cho khi chạm chán thuyền là: (8:4 = 2left( h ight))

Khi kia ta tất cả phương trình:

 (eginarrayldfrac24x + 4 + dfrac16x - 4 = 2\ Leftrightarrow dfrac24left( x - 4 ight) + 16left( x + 4 ight)x^2 - 16 = dfrac2left( x^2 - 16 ight)x^2 - 16\ Leftrightarrow 24x - 96 + 16x + 64 = 2x^2 - 32\ Leftrightarrow x^2 - 20x = 0\ Leftrightarrow xleft( x - 20 ight) = 0\ Leftrightarrow left< eginarraylx = 0left( ktm ight)\x = 20left( tm ight)endarray ight.endarray)


Vậy vận tốc thực của thuyền là đôi mươi km/h.

Câu 4.

Xem thêm: Cây Hoa Tử Đằng Tại Hà Nội, Mua Cây Hoa Tử Đằng Ở Đâu Hà Nội

Trong hệ tọa độ Oxy, cho Parabol (y = x^2left( p ight)) và mặt đường thẳng tất cả phương trình (y = left( m - 1 ight)x + m^2 - 2m + 3left( d ight))

a) minh chứng với phần đông giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với (d) là:

(eginarraylx^2 = left( m - 1 ight)x + m^2 - 2m + 3\ Leftrightarrow x^2 - left( m - 1 ight)x - m^2 + 2m - 3 = 0,,,,left( 1 ight)endarray)

Số giao điểm của (P) cùng (d) đó là số nghiệm của phương trình (1). Ta có:

(eginarraylDelta = left( m - 1 ight)^2 - 4left( - m^2 + 2m - 3 ight)\ = m^2 - 2m + 1 + 4m^2 - 8m + 12\ = 5m^2 - 10m + 13\ = 5left( m^2 - 2m + 1 ight) + 8\ = 5left( m - 1 ight)^2 + 8 > 0,forall mendarray)

Vậy phương trình (1) luôn có nhì nghiệm phân biệt. Buộc phải (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) giả sử (d) giảm (P) tại nhị điểm rõ ràng A, B: (Aleft( x_1;y_1 ight);Bleft( x_2;y_2 ight),left( x_1 e x_2 ight)) mà lại A, B trực thuộc vào (P) nên (Aleft( x_1;x_1^2 ight);Bleft( x_2;x_2^2 ight))


Áp dụng hệ thức Viet mang lại phương trình (1) ta có: (left{ eginarraylx_1 + x_2 = m - 1,,,,,,,,,,,,,,,left( * ight)\x_1x_2 = - m^2 + 2m - 3,,,left( ** ight)endarray ight.)

Tam giác OAB cân tại O đề nghị OA = OB giỏi (OA^2 = OB^2)

(eginarrayl Leftrightarrow x_1^2 + left( x_1^2 ight)^2 = x_2^2 + left( x_2^2 ight)^2\ Leftrightarrow x_1^2 + x_1^4 = x_2^2 + x_2^4\ Leftrightarrow left( x_1^2 - x_2^2 ight) + left( x_1^4 - x_2^4 ight) = 0\ Leftrightarrow left( x_1^2 - x_2^2 ight)left( 1 + x_1^2 + x_2^2 ight) = 0\ Leftrightarrow left< eginarraylx_1 = x_2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( ktm ight)\x_1 = - x_2,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 3 ight)\1 + x_1^2 + x_2^2 = 0,,,,,left( 4 ight)endarray ight.endarray)

+) TH1: phối kết hợp (3) cùng với (*) ta có: (left{ eginarraylx_1 = - x_2\x_1 + x_2 = m - 1endarray ight. Leftrightarrow m = 1).


+) TH2: tự (4) ta bao gồm (x_1^2 + x_2^2 + 1 = 0) (vô lí vày (x_1^2 ge 0;,,x_2^2 ge 0 Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + 1 > 0))

Kết luận: Vậy m = 1 thì tam giác OAB cân nặng tại O.

Với m = 1 thì (d) trở thành: y = 2 là 1 trong đường thẳng tuy nhiên song cùng với trục hoành và cắt trục tung trên điểm có tung độ bởi 2.

*

Với m = 1 ta có: Phương trình (1) trở thành:

Ta có: (AB = sqrt left( sqrt 2 + sqrt 2 ight)^2 + left( 2 - 2 ight)^2 = sqrt 8 )

Ta có: (S_OAB = dfrac12OH.AB = dfrac12.2.sqrt 8 = sqrt 8 left( dvdt ight))

Câu 5.

Cho nửa con đường tròn trung khu O 2 lần bán kính AB, M là 1 trong những điểm bất kỳ thuộc nửa mặt đường tròn (M khác A, B). Tiếp đường tại M cắt các tiếp đường Ax với By của nửa con đường tròn kia lần lượt trên C cùng D.

*

a) chứng minh (widehat COD = 90^0).

Ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà (widehat AOM) cùng (widehat BOM) là nhị góc kề bù ( Rightarrow OC ot OD).

( Rightarrow widehat COD = 90^0).


b) gọi K là giao điểm của BM và Ax. Chứng tỏ (Delta KMO sim Delta AMD)

Xét tứ giác OBDM gồm (angle OBD + angle OMD = 90^0 + 90^0 = 180^0)

(Rightarrow ) Tứ giác OBDM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác gồm tổng hai góc đối bởi 1800)

( Rightarrow angle ABM = angle ODM) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OM)

Lại bao gồm (angle KAM = angle ABM) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

( Rightarrow angle KAM = angle ODM)

Xét tam giác AMK và tam giác DMO có:

(angle KAM = angle ODM)(cmt)

( Rightarrow angle AMK = angle OMD = 90^0)

( Rightarrow Delta AMK sim Delta DMO,,left( g.g ight) )

(Rightarrow dfracMKMO = dfracMAMD)

Ta có:

(eginarraylangle KMO = angle KMC + angle CMO = angle KMC + 90^0\angle AMD = angle AMB + angle BMD = angle BMD + 90^0endarray)

Mà (angle KMC = angle BMD) (2 góc đối đỉnh)

Nên (angle KMO = angle AMD)

Xét tam giác KMO với tam giác AMD có:

(eginarraylangle KMO = angle AMD,,left( cmt ight);\dfracMKMO = dfracMAMD,,left( cmt ight)endarray)


( Rightarrow Delta KMO sim Delta AMD,,left( c.g.c ight))

c) Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của tổng diện tích s hai tam giác ACM cùng BDM.

Ta dễ dàng minh chứng được (Delta ACM sim Delta BOM,,left( g.g ight))

(Rightarrow dfracS_ACMS_OBM = dfracAC^2R^2 = dfracAM^2BM^2)

Lại có (S_OBM = dfrac12S_MAB)

(Rightarrow S_ACM = dfrac12S_MAB.dfracMA^2MB^2) 

Tương từ (Delta BDM sim Delta AOM,,left( g.g ight) )

(Rightarrow dfracS_BDMS_AOM = dfracBD^2R^2 = dfracBM^2AM^2)

Lại bao gồm (S_AOM = dfrac12S_MAB )

(Rightarrow S_BDM = dfrac12S_MAB.dfracBM^2AM^2)

( Rightarrow S_ACM + S_BDM = dfrac12S_MABdfracAC^2 + BD^2R^2)

(Delta MAB sim Delta MCD,,left( g.g ight) )

(Rightarrow dfracS_MABS_MCD = dfracAB^2CD^2)

(Rightarrow S_MAB = S_MCD.dfrac4R^2CD^2 = dfrac12R.CD.dfrac4R^2CD^2 = dfrac2R^3CD)


( Rightarrow S_ACM + S_BDM = dfrac12.dfrac2R^3CD.dfracAC^2 + BD^2R^2 = R.dfracAC^2 + BD^2CD)

Ta tất cả (AC = CM;,,BD = BM;,,CD = centimet + DM)

( Rightarrow S_ACM + S_BDM = R.dfracCM^2 + DM^2CM + DM)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta bao gồm (left( CM + DM ight)^2 le 2left( CM^2 + DM^2 ight) Rightarrow dfracCM^2 + DM^2left( CM + DM ight)^2 ge dfrac12)

(eginarrayl Rightarrow dfracCM^2 + DM^2CM + DM ge dfrac12left( CM + DM ight) = dfrac12CD ge dfrac12AB = R\ Rightarrow S_ACM + S_BDM = R.dfracCM^2 + DM^2CM + DM ge R^2endarray)

Dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow left{ eginarraylCM = DM\CD = ABendarray ight.) , lúc đó M là điểm ở vị trí chính giữa của cung AB.

Vậy (left( S_ACM + S_BDM ight)_min = R^2 Leftrightarrow M) là điểm ở vị trí chính giữa của cung AB.

Câu 6.

a) mang lại hàm số (y = fleft( x ight)) với (fleft( x ight)) là một trong những biểu thức đại số khẳng định với hầu như số thực (x e 0) . Biết rằng: (fleft( x ight) + 3fleft( dfrac1x ight) = x^2left( forall x e 0 ight).) Tính (fleft( 2 ight))


Ta có:

(eginarraylfleft( x ight) + 3fleft( dfrac1x ight) = x^2left( forall x e 0 ight).\ Rightarrow left{ eginarraylfleft( 2 ight) + 3fleft( dfrac12 ight) = 2^2 = 4\fleft( dfrac12 ight) + 3fleft( 2 ight) = left( dfrac12 ight)^2 = dfrac14endarray ight.\ Rightarrow left{ eginarraylfleft( 2 ight) + 3fleft( dfrac12 ight) = 4\3fleft( dfrac12 ight) + 9fleft( 2 ight) = dfrac34endarray ight.\ Rightarrow 8fleft( 2 ight) = - dfrac134 Rightarrow fleft( 2 ight) = - dfrac1332endarray)

b) Cho tía số nguyên dương (a,b,c) đôi một khác nhau và thỏa mãn: (a) là cầu của (b + c + bc), (b) là mong của (c + a + ca) cùng (c) là cầu của (a + b + ab) . Minh chứng (a,b,c) không bên cạnh đó là các số nguyên tố.